Корректные и некорректные задачи - significado y definición. Qué es Корректные и некорректные задачи

Корректные и некорректные задачи

классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задача называется корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи); 3) решение устойчиво.

Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи.

Третье условие заключается в следующем. Если u₁ и u₂ - два различных набора исходных данных, мера уклонения которых друг от друга достаточно мала, то мера уклонения решений z₁ = R (u₁) и z₂ = R (u₂) меньше любой наперёд заданной меры точности. При этом предполагается, что в многообразии U = {u} допустимых исходных данных и в многообразии возможных решений Z = {z} установлено понятие меры уклонения (или меры близости) ρ(u₁, u₂) и ρ*(z₁, z₂). Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными).

Внимание к корректности задач было привлечено французским математиком Ж. Адамаром в связи с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых задач таких уравнений.

Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

Понятия приближённого решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения z = R (u) корректной задачи можно брать точное её решение z̃ с приближёнными исходными данными ũ, т. к. для любой точности ε приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует такая точность δ(ε) исходных данных, что, если

, то

. Для некорректных задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать в качестве приближённого решения. Однако задание приближённых исходных данных в естественных науках может быть охарактеризовано не только исходным элементом ũ, но и мерой его точности δ. Т. о., для определения приближённого решения имеется не только элемент ũ, но и параметр δ. Понятие приближённого решения задачи z = R (u) вводится с помощью т. н. параметрического оператора R_δ(u), зависящего от параметра δ и называемого регуляризирующим (или исправляющим) оператором. Если оператор R_δ(u) определён для всех δ > 0 и всех ũ, входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R (u), то для любой заданной точности ε существует (хотя бы в принципе) такое δ(ε), что для любого элемента

решение

уклоняется от z меньше, чем на заданную точность ε, т. е.

Т. о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего оператора

, который определяет устойчивое приближение к z.

Примером некорректной классической математической задачи может служить задача приближённого дифференцирования при определённых (практически важных) мерах точности задания z и u. Именно, некорректной будет задача о нахождении равномерного приближения z̃ к z по равномерному приближению ũ к u, т. к. здесь не выполнено первое условие корректности: не для всякой функции ũ такой, что |ũ(x)-u(x)|≤δ существует производная ũ'(x), а также не выполняется третье условие корректности: если даже существует производная ũ'(x), то из неравенства |ũ(x)-u(x)|≤δ не следует близость производных ũ'(x) и u'(х). Однако в качестве регуляризирующего оператора можно взять

при h >> δ. Этот оператор определён для всех

независимо от их дифференцируемости и в ограниченном промежутке даёт равномерное приближение для всякой непрерывно дифференцируемой функции u (х).

Можно привести много др. примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными.

Обширный класс некорректно поставленных задач в естествознании составляют задачи обработки наблюдений без дополнительной (количественной) информации о свойствах решений. Если изучается объект, количественные характеристики z которого недоступны для прямого изучения, то обычно исследуются некоторые проявления этого объекта u, функционально зависящие от z. Задача обработки наблюдений состоит в решении "обратной задачи", т. е. в определении характеристики z объекта по результатам наблюдений u; при этом u задаётся приближённо.

Имеется много работ (особенно советских математиков), посвященные методам приближённого решения некорректно поставленных задач и их применений к решению обратных задач. Эти работы имеют важное значение для автоматизации обработки наблюдений, для решения проблем управления и т. д.

Лит.: Тихонов Д. Н., Об устойчивости обратных задач, "Доклады АН СССР", 1943, т. 39, № 5; его же, О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, там же, 1963, т. 151, № 3; Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962.

А. Н. Тихонов.

Краевые задачи

ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ), УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕГО КРАЕВЫМ (ГРАНИ

Краевые задачи; Граничная задача

задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение

(1)

имеет бесконечное множество решений u (x₁, х₂) = f (x₁+x₂) + f₁(x₁-x₂), где f и f₁- произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике -а ≤ x₂ ≤ a, 0 ≤ x₁ ≤ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x₁, x₂ уравнение (1) имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым

u (0, x₂) = 0, u (l, x₂) = 0, -а ≤ x₂ ≤ a, (2)

и начальным

u (x₁, 0) = φ(x₁),

(3)

условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции φ и ψ считаются наперёд заданными. Если переменное x₂ есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример так называемой смешанной задачи.

Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x₁,..., x_n) = х ищется решение u (х) = u (x₁,..., x_n) уравнения

Du (x) = 0, x ∈ G (4)

при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию

Bu (у) = 0, y ∈ S, (5)

где D и В - заданные операторы, причём, как правило, D - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).

Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n - 1)-мерной гиперповерхностью, D - линейным дифференциальным оператором второго порядка

где A_{i, j}, B_i, C, F, f - заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же

где a_i, i = 1,..., n, f - заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a₁,..., a_n) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если

F (x) = 0, f (y) = 0.

Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

, x ∈ G ∪S (6)

где λ₁,..., λ_n - произвольные действительные параметры, а k₀ и k₁ - фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) ≤ 0, x ∈ G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D представляет собой оператор Лапласа

, решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале -1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) = ,

где f₁= u (-1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

где |х-у| - расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) - 5).

В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма

в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности

являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ = 0, x₁ = 1, x₂ = 0, x₂ = 1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, x₂) = f (x₂), 0 ≤ x₂ ≤ 1

u (x₁,0) = φ(x₁), 0 ≤ x₁ ≤ 1

u (1, x₂) = ψ(x₂), 0 ≤ x₂ ≤ 1

f (0) = φ(0), ψ(0) = φ(1)

при произвольных достаточно гладких данных f, φ. ψ. Следовательно, краевое условие u (x₁,1) = θ(x₁), 0 ≤ x₁ ≤ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ + x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0, x₁ + x₂ = 1, x₁ - x₂ = -1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (x₁, x₁) = f (x₁), 0 ≤ x₁ ≤ ¹/₂

u (x₁,-x₁) = φ(x₁), -¹/₂ ≤ x₁ ≤ 0

f (0) = φ(0)

при произвольных достаточно гладких данных f и φ. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x₁,1+x₁), -¹/₂ ≤ x₁ ≤ 0, и u (х₁, 1-x₁), 0 ≤ x₁ ≤ ¹/₂, не могут быть заданы произвольно.

Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].

Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.

Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.- Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

А. В. Бицадзе.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Краевые задачи; Граничная задача

часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

Qué (quién) es Корректные и некорректные задачи - definición

Wikipedia